原文： 《LVR: Quantifying the Cost of Providing Liquidity to Automated Market Makers》 by Jason Milionis，哥倫比亞大學計算機科學博士；Cimac Moallemi，哥倫比亞商學院教授；Tim Roughgarden， a16z crypto 研究負責人，哥倫比亞大學計算機科學教授和數據科學研究所的成員；Anthony Lee Zhang，芝加哥大學布斯商學院金融學助理教授

編譯：Babywhale，Foresight News

自動做市商（AMM）有兩種類型的參與者：一種是交易者，他們將一種代幣交易成另一種（例如， ETH 和USDC ）；另一種是流動性提供者（LP ），他們向AMM 提供代幣流動性來獲取一部分交易費用。

以LP 身份參與何時具有經濟意義？收益何時超過成本？ LP 的收益來自交易費用，以及在某些情況下額外的代幣獎勵。本篇文章總結了一種計算的新方法，我們稱之為LVR（相對損失再平衡，Loss Versus Rebalancing）。我們將在下面詳細介紹LVR 及其對LP 和AMM 設計的影響，但首先讓我們回顧一下AMM 在市場價格演變時的表現。

AMM 中的套利與「逆向選擇」

自動做市商中的LP 因逆向選擇而可能遭受損失，這是成為LP 的主要代價之一。由於提供流動性給以既定價格進行交易的任何一方（買入或賣出），AMM 中的每個LP 都冒著成為有更好或更即時代幣價格信息的交易者對手方的風險。例如，如果公開市場上的ETH 價格突然上漲，快速套利者可能會從AMM 購買ETH（以較低的舊價格），然後在幣安等中心化交易所轉售（以新的較高市場價格）賺取利潤。因為AMM 只有兩種類型的參與者，所以交易者的利潤就對應著LP 的損失。

為了推理LP 的成本，從而為LP 的參與決策和AMM 設計提供信息，我們從評估過去的簡單問題開始。假設我們剛剛完成向ETH-USDC AMM 提供流動性。假設我們將1 ETH 和1000 USDC 存入AMM，並在提款時收到0.5 ETH 和2000 USDC（在大多數AMM 中，你得到的可能與你投入的不同，這取決於AMM 代幣的市場價格在此期間的變動情況）。進一步假設當月ETH 價格上漲，在一個月內從1000 美元躍升至4000 美元。在這種情況下，提供流動性的決定將使你的資金從存款時價值2000 美元的投資組合翻倍到提款時價值4000 美元的投資組合。

為AMM 提供流動性涉及當月持有一定數量的ETH。鑑於ETH 的價格在本月翻了4 倍，事後看來，幾乎任何涉及持有一些ETH 的策略看起來都相當不錯。

但更重要的問題是：AMM LP 的具體策略與你「做多ETH」的所有其他方式相比如何？同樣，在撇開純粹由ETH 價格變化產生的利潤（或損失）後，該如何看待提供流動性這個決定？

押注ETH 價格上漲的最簡單方法是購買一些ETH 並持有它。在上文的例子中，持有策略將導致月末投資組合（仍然是1 ETH 和1000 USDC，但現在ETH 價格為4000 美元）價值5000 美元，比從AMM 提取的金額多1000 美元。這1000 美元的差距就是通常所說的「無常損失」的一個例子。

無常損失的例子

無常損失將LP 的利潤與參考策略下可能獲得的利潤進行了比較，但它未能隔離AMM LP 面臨的逆向選擇成本。為了看到這一點，讓我們改變我們的例子，使ETH 在月初和月底的價格都是1000 美元。在這種情況下，在大多數AMM 中，你將獲得與初始存款相同的代幣組合，這意味著無常損失將為零。無論ETH 價格在整個月內保持不變還是在回到1000 美元之前上下浮動，結果都一樣。

價格軌跡上的無常損失的獨立性（除了其初始值和最終值）應該會讓你覺得很可疑。例如，我們已經討論過AMM 的套利，即交易者以犧牲LP 利益為代價獲利。那麼，LP 成本似乎應該隨著AMM 套利機會的數量而增加，而價格保持不變（無套利）與價格大幅上漲（大量套利）的機會頻率應該會非常不同。

什麼是LVR

我們提出了一種新的方法來思考AMM 的LP 所承擔的成本，其核心指標我們稱為LVR（Loss Versus Rebalancing）。 LVR 可以用幾種不同的方式來解釋。我們在這裡強調的是作為無常損失的替代方案，它的計算方法更加細緻。 （LVR 的另一種解釋是LP 在適當對沖其對ETH 價格的敞口後的損失，還有一種解釋是套利者可以賺取的最大利潤。）

Rebalancing 是AMM 特有的，所以讓我們在Uniswap （v1 和v2）著名的恆定乘積做市商（CPMM）的典型特例中介紹它。雙代幣CPMM，也稱為「x*y=k」曲線——維護兩個代幣的儲備，比如x 個單位的ETH 和y 個單位的USDC。現貨價格被定義為y/x，它具有使兩個儲備的市場價值相等的效果（從這個意義上說，這樣的AMM 有效地執行了Rebalancing 策略）。在實踐中，這個現貨價格是通過只允許兩個代幣數量的乘積x*y 不變的交易來定義的。

LVR 可以在逐筆交易的基礎上定義，所以讓我們看一下單筆交易。考慮一個有1 個ETH 和1000 個USDC 的CPMM，假設ETH 的市場價格突然從1000 美元上漲到4000 美元。我們預計一些套利者會以2000 USDC 的有效價格從CPMM 購買0.5 ETH，從而保持x*y 不變，同時將現貨價格移動到2000/0.5=4000 USDC/ETH（並使兩種儲備的價值為2000美元）。

這時參考Rebalancing，從1 ETH 和1000 USDC 的相同初始投資組合開始：複製CPMM 的交易（意味著賣出0.5 ETH，就像CPMM 一樣），但以當前4000 美元的市場價格執行（例如在幣安上）。因為這種替代策略導致的投資組合價值比CPMM 高1000 美元（5000 美元對4000 美元），我們說該交易的LVR 為1000 美元。

繼續這個例子，假設ETH 的價格突然回落到1000 美元。 CPMM 將立即返回其原始狀態1 ETH 和1000 USDC（套利後），實際上就是以相同的2000 USDC 回購0.5 ETH。 Rebalancing 策略複製交易（購買0.5 ETH），但以市場價格（1000 美元）執行。 Rebalancing 策略的投資組合價值現在比CPMM 多1500 美元（3500 美元對2000 美元），第二筆交易為LVR 貢獻了額外的500 美元。

這個計算在直覺上是合理的，與無常損失不同，LVR 取決於價格軌跡（如果價格保持不變，LVR 為0，但如果價格上漲然後回落則不是）並逐筆累積（因為每筆交易都可能在錯誤的一方，導致額外的逆向選擇成本）。

LVR 的一般定義

看了前面的例子，我們對LVR 的定義是：給定任意AMM 上的任意交易序列，LVR 是通過AMM 而不是在公開市場上執行交易所產生的損失總和。這個總和的每一項都是a(p – q) 的形式，其中a 表示交易中出售的ETH 數量（例如，在我們上面的第一和第二筆交易中，0.5 和-0.5），p 表示當時的市場價格（上文中的4000 和1000），q 表示AMM 交易的單價（上文中的2000 和2000）。

該定義也可以變化為定期（例如，每小時或每天）Rebalancing，而不是逐筆交易。這種變化可以簡化LVR 的實證分析，並且也可以讓對上述LVR 進行對沖的解釋中更為自然。

對過去和未來策略的思考

LVR 隔離了LP 承擔的逆向選擇成本。事後看來，提供流動性的決定是個好主意嗎？首先，這個問題歸結為收取的費用是否超過了LVR，因此通常很容易使用公開數據（例如，AMM 交易的鏈上記錄或幣安上的歷史價格數據）來回答。

為了推理未來而不是過去的LP 決策，我們不能直接依賴數據，必須採用一些價格可能如何演變的數學模型（LVR 關鍵取決於價格軌跡）。我們可以使用各種不同的模型，但也許最自然的選擇是Black-Scholes 模型，ETH 的價格根據幾何布朗方程不斷演變運動。

如果你不熟悉這個模型，要知道的關鍵點是它基本上只有一個重要參數，即價格波動率σ。如果σ=0，價格保持不變，而如果σ 很大，則說明價格波動劇烈。

LVR 可以在這個模型中精確地得到體現。因為LVR 逐筆累積，並且因為這是一個交易一直在發生的連續時間模型，所以LVR 可以表示為瞬時LVR 的積分。瞬時LVR 與σ 和當前市場價格呈指數關係，並與AMM 在該價格下的邊際流動性呈線性關係。

這種數學表達可能聽起來有點嚇人，但許多常見的AMM 都非常簡單，以至於LVR 是由一個基本的公式給出的。

例如，對於CPMM，瞬時LVR，當通過CPMM 的市場價值標準化時，結果正好是σ²/8。如果Uniswap v2 ETH-USDC 池的每日波動率為5%，那麼根據我們的模型，LP 每天LVR 損失3.125 個基點（注：一個基點為0.01%）（每年損失大約11%）。交易費收入能否彌補這一損失？答案取決於交易費用和交易量。例如，如果該AMM 收取固定的30 個基點的交易費，則LP 將實現盈虧平衡，前提是每日交易量約為AMM 資產的10.4%。如果每日波動率為10%，則所需交易量將是原來的四倍。

對AMM 設計的啟示

LVR 不僅對潛在的流動性提供者很重要，對AMM 設計者也很重要。 AMM 只有讓LP 獲得足夠收益才能成功，這意味著費用收入需要與LVR 一起擴大。

我們研究中的一個啟示是，由於LVR 取決於交易量的波動性和費用收入，AMM 應考慮隨交易量、波動性或經驗觀察到的LVR 調整的動態費用。第二個是AMM 設計者應該研究最小化LVR（以及因此所需的LP 激勵）的方法，例如通過結合高質量的餵價預言機來報價以獲得更接近市場的價格。下一代AMM 已經在探索這些內容以及相關的想法，我們迫不及待地想看看它們會如何發揮作用。