Verkle Tree作为ETH2.0升级的一个重要部分，其相比于Merkle Tree，在Proof的大小上，有着很大的提升；对于规模在十亿级别的数据，Merkle Tree的proof大约需要1kB，而对于Verkle Tree， 它将小于150Bytes。
Verkle Tree的概念在2018年推出，具体的可以参考论文Verkle Tree；本文将主要介绍Verkle Tree的原理。
Merkle Tree
Merkle Tree是一种常见的Accumulator，它可以用来证明某个元素存在于Accumulator中，如下图所示：
如果想要证明（key: value）= (06: 32)在这个Tree中（绿色标记），那图中所有红色标记的 node都需要包含在Proof中，然后verifier根据图中所示的路径计算出Root，并和期望的Root（灰色标记）进行比较。
可以预见的是，随着Tree的深度和宽度变大，则Proof的大小同样会变大（对于branched-2，复杂度为
，对于branched-k，复杂度为
；而且，verifier需要从Tree的底层逐步向上进行大量的Hash计算，一直到顶层，随着Tree的深度和宽度的增加，verifier的工作量也将会变得可观（这是难以接受的）。
Verkle Trees - concept
前面章节提到，单纯的增加Tree的宽度，虽然能减小Tree的深度，但不能降低proof的大小，那是因为Proof的大小由最初的变为了 ; 即, 对于每一层, prover都需要提供 k-1 个额外的节点信息, 论文Verkle Tree给出了⼀个方案, 使得proof的复杂度降低到
, 如果令 k=1024 , 则Proof将会缩 
倍。
Verkel Tree的设计如下图所示：
每一个节点都包含了两个信息（1）Value；（2）存在性证明π，比如图中的绿色标记
表示H(k,v)存在于承诺
中，
为这个表述的proof；同理，
表示
存在于承诺
中，
为这个表述的证明。
在论文Verkle Tree中，这种存在性证明的方式称为Vector commitment；若直接采用Vector commitment的方案对原始数据进行存在性证明，其可以获得O(1)复杂度的Proof，但是构建Proof的复杂度和更新Proof的复杂度分别为O(n²),O(n)。因此，为了在它们之间保持一个平衡，论文Verkle Tree里采用的K-ary的Verkle Tree的方案（如上图所示），使得构建Proof,，更新Proof，Proof的复杂度分别为O(kn),O(
),O(
)，具体性能对比如表1所示：
本文并不打算详细的去介绍vector commitmenr的一些具体方案，有兴趣的可以直接去阅读论文；庆幸的是，我们有比vector commitment更有效的工具 - polynomial commitment（多项式承诺）。给定一组坐标集合
和值集合
，你可以构建一个多项式（Lagrange interpolation）满足
，然后对这个多项式进行承诺。常见的多项式承诺方案有KZG10 和 IPA（此时，承诺就是椭圆曲线上的一个点，大小一般在32-48Bytes之间）。
Basis
KZG for single point
以KZG10承诺为例，对于多项式P(x)，我们用
表示多项式承诺。我们知道，对于多项式P(x)，如果(z)=y，则有(x−z)|(P(x)−y)，即如果令Q(x)=(P(x)−y)/(x−z)，则Q(x)是一个多项式。
现在，你为多项式P(x)满足P(z)=y 生成一个证明：即，计算
，并且发送给Verifier，Verifier需要验证：
因为s是有限域F上随机选取的一个点，因此，prover作恶成功的概率为 degree(Q)/P（Schwartz–Zippel lemma）。
KZG for multi-points
现在，你想证明多项式P(x)在
上的值分别为
。为此，你需要定义两个多项式：
则，根据前面的描述，需满足V(x)|(P(x)−I(x))，即，存在多项式Q(x)满足：
Q(x)∗V(x)=P(x)−I(x)。
因此，Pover需要提供对多项式P(x)和Q(x)的承诺
，并发送给Verifier；Verifier本地计算
，然后校验等式：
可以看到，无论Points有多少个，proof的大小是恒定的，如果选择Bls12-381曲线，Proof的大小只有48Bytes，这一点非常高效。
Verkle Tree - ETH
相比于Merkle Tree，为了证明一个元素的存在性，prover仍然需要提供
大小的proof，Verkle Tree在proof大小上实现了巨大的提升。
让我们看一个Verkle Tree的简单示例：
可以看出, 和Merkle Patricia Tree结构类似, node可以分为三类：empty node、inner node和leaf node，每个inner node tree的宽度为16（16进制表示0000->1111）；为了证明leaf node的状态为（0101 0111 1010 1111 -> 1213），我们需要对Inner node A和 Inner node B进行承诺：
a. 证明Inner node B的承诺在索引1010处的值为hash(0101 0111 1010 1111, 1213);
b. 证明Inner node A的承诺在索引0111处的值为hash(cm_B);
c. 证明node Root的承诺在索引0101处的值为hash(cm_A);
把上述承诺分别用
表示，且分别对应多项式
，因此，Prover需要证明的是：
a. 
b. 
c. 
Compress for multi-polys
为了简单, 我们将用
来表示索引, 则prover需要证明, 对于多项式集合
，分别在点
处满足：
根据前面的描述（KZG for single point），对于每一个多项式，都存在一个商多项式满足：
Prover需要对原多项式和商多项式进行承诺，并发送给Verifier：
Verifier执行校验：
很明显，我们并不想让Verifier执行这么多次的配对操作（这个是昂贵的步骤）。因此，我们需要进行一次Compress，具体如下：
我们随机生成一些随机数
，然后把上述商多项式组合在一起：
我们假设，当且仅当每个
为多项式时，g(x)才是一个多项式（因为随机数的引入，
之间的分数部分正好抵消的概率很低）。
prover对多项式g(x)进行承诺，并发送
给verifier。
接下来，只需要让verifier相信
是对多项式g(x)的承诺：
观察多项式g(x)的形式，其可以写成：
随机选择一个值t，则有：
定义多项式：
其承诺可以用以下方式计算：
则有：多项式h(x)−g(x)在点t的值为：
令：
计算商多项式
计算其承诺
，发送给verifier。
Verifier验证：
a. 计算
b. 校验
Key propertie
a. 该方案允许Prove任意个数的points，且Proof的大小是恒定的(一个承诺，一个proof: π);
b. 
的值可不显式提供，因为它就是下一层值的hash;
c. 
的值可不显式提供，可以根据Key判断;
d. 所用到的公开信息就是被证明的key/value对，和由下而上的没层级对应的承诺。
参考
1. PCS multiproofs using random evaluation - Dankrad Feist； https://dankradfeist.de/ethereum/2021/06/18/pcs-multiproofs.html
2. Verkle trees - vitalik ：https://vitalik.ca/general/2021/06/18/verkle.html
3. Verkle Trees paper ：https://math.mit.edu/research/highschool/primes/materials/2018/Kuszmaul.pdf
4. Vector commitment：https://eprint.iacr.org/2011/495.pdf
5. Lagrange interpolation：https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial
6. KZG10：https://dankradfeist.de/ethereum/2020/06/16/kate-polynomial-commitments.html
7. IPA：https://twitter.com/VitalikButerin/status/1371844878968176647
8. Schwartz–Zippel lemma：https://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz%E2%80%93Zippel_lemma
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